Андрис Лиепа родился в семье Мариса Лиепы и Маргариты Жигуновой. Брат Илзе Лиепы.
В 1980 году окончил Московское академическое хореографическое училище (класс Прокофьева). По окончании училища — солист балета Большого театра.
За восемь лет работы в этой труппе он станцевал ведущие партии в балетах классического репертуара театра.
С 26 июля 2010 года — член Патриаршего совета по культуре (Русская православная церковь)
Адрис Лиепа возобновил балет Фокина «Видение Розы» и с 1991 года исполнял его с разными партнёршами
В 1994 поставил танцы в опере Римского-Корсакова «Сказание о невидимом граде Китеже»
Вместе с Изабель Фокиной реконструировал балеты Фокина: «Жар Птица» 25 июня 1910 года, «Шехеразада» 4 июня 1910 года и «Петрушка» 13 июня 1911 года, премьера которых состоялась в Парижской опере (Theatre de l?Opera) усилиями Дягилева, его антрепризы (Les Ballets Russes de Serge de Diaghilev).
Премьера возобновлённых спектаклей состоялась 26 мая 1994 года в Мариинском театре .
Презентация фильма «Возвращение Жар-птицы» прошла в КДСе 3 декабря 2002 года, на DVD фильм был выпущен позднее, дата релиза 11 февраля 2003 года.